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为基础数学而写：关于基础数学的若干想法

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归档：2007年5月分类：数海泛舟

从数学分析、高等代数、解析几何走来，经过常微分方程、复变函数的洗礼，正在实变函数、抽象代数、概率论中摸索，还将走向数论、拓扑学、泛函分析。这一路上经历了太多的彷徨，但是我最终还是不愿放弃这些优美的符号和公式。
数学分析，这门被称为数学系最重要最基础也是最容易学的课程，先建立了无懈可击的实数理论，然后引出严密的极限理论，进而是连续、导数、微分积分等概念，再向多维、向更抽象的函数概念出发，最后结成这门课程丰硕的成果。
高等代数，数学高度抽象性的典型代表，代数方程、多项式、向量、矩阵、线形空间、线形变换、欧氏空间、辛空间等等这些字眼中还包括更加抽象的概念。但是前人们找到了研究它们的方法，代数方程的根、矩阵性质、不变子空间、商空间，把握了这四个东西就好了。
解析几何，数形结合的经典，忘不了的是用向量法和坐标法来研究几何，最让我难忘的是引入坐标变换法将二次曲面问题归为一个方程来研究，特别是只用短短几页书把高中的解析几何讲完了。
常微分方程，作为数学科学中永远不会衰竭的领域，微分方程无处不在。方程模型、解析解、数值解、稳定性分析，这是研究它的模式。
复变函数，又称解析函数论，工程运用必不可少的工具，从复数的实部虚部之间的关系找到一类有良好性质的函数，然后去研究它们得到许多深刻的定理，便创造了一门漂亮的学科。拉普拉斯变换、留数、黎曼猜想光彩照人。
实变函数，建立在公理侧度理论上的微积分，以勒贝格积分为基础，引出了这门号称最难学的课程（数学系的学生都认为是“天书”），现在还在学习中。
抽象代数，这门由女数学家埃米.诺特建立起来的理论，研究群、环、域，现在还在学习中。
概率论，数理统计的基础，随即事件的数学化，研究随即现象的规律性，现在还在学习中。
数论、拓扑学、泛函分析还等待着我去领略它们的精妙。

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