这几天又重新学习复习了一下数学基础：逻辑主义、形式主义和直觉主义。我自己当然更倾向于基于公理化集合论的逻辑主义，这也是目前大部分数学家的选择。
一、数学基础
数学上，数学基础一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递归论（可计算性理论）。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题：在什么终极基础上命题可以称为真?
目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论和形式逻辑的。实际上，几乎所有现在的数学定理都可以表述为集合论下的定理。在这个观点下，所谓数学命题的真实性，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。
二、公理化集合论
基础集合论可以用非正式的、直觉的方式学习，在小学中就可以用文氏图说明。基础集合论直观地假设集合就是一群符合任意特定条件的对象的组合，但此假设会造成悖论。最简单及著名的是罗素悖论及布拉利-福尔蒂悖论。公理集合论的形成就是为了避免这些集合论的悖论。
许多数学家研究的公理集合论系统假设所有的集合形成累计层次。这类的系统可分为二类：
1、只由集合构成：这类系统包括最常用的公理集合论：含选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC），由亚伯拉罕·弗兰克尔和陶拉尔夫·斯科伦扩展了策梅罗集合论所得。其他和ZFC有关的集合论有：
1）、策梅洛集合论是由德国数学家恩斯特·策梅洛创立，将分类公理代替替代公理。
2）、广义集合论，策梅洛集合论的一小部分，已足以处理皮亚诺公理及有限集合。
3）、克里普克-普拉特克集理论，省略了无穷公理、幂集公理和选择公理，削弱了分类公理和替代公理的公理架构。
2、由集合和真类构成：这类系统包括冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论，是设计生成同 ZFC同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理而不使用公理模式。单论只涉及集合的内容，此理论的强度和ZFC相当。另外比ZFC强的Morse-Kelley集合论及Tarski–Grothendieck集合论也属于这一类。
三、选择公理
选择公理：对于所有的集族，均存在选择函数。
罗素解释：假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择。然而，假设有无限双袜子（假设每双袜子都没有可区分的特征），在对于所有的集族，均存在选择函数。
哥德尔证明了选择公理与ZF的相对协调性。保罗·寇恩用力迫法证明了选择公理独立于ZF。也就是说：哥德尔和寇恩证明了，无论接受选择公理与否，都不会导致矛盾，只是身处不同的『数学世界』而已。
不过，除了一些研究集合论的数学家和逻辑学家以外，大部分数学家都选择接受选择公理，因为在含有选择公理的数学世界里，事情会简单一些。